Чрез красотата към истината в математиката

Автор: Ron Jarman. Published in Child and Man, Vol. V., #2, Winter 1965(UK)

Рон Джарман е математик, възпитаник на Университета в Кеймбридж, и бивш инженер за автомобилната компания Ролс Ройс. Той е и дългогодишен валдорфски учител и международно признат лектор.

(Статията е публикувана със съкращения. Снимките са добавени от Валдорфско училище „Проф. Н. Райнов“)


„Блещукай, блещукай, малка звездичке, как се чудя какво си ти“ (бел. прев.: началото на популярна английска детска песен).

Колкото и банално да звучи, търсенето на истината във всеки клон на познанието винаги започва с учудване. Никъде това не е по-очевидно, отколкото при децата, затова учителят разчита на него като на свой най-голям помощник.

Учудването се разпалва по-силно в присъствието на красивото

Защото така има пряко осъзнаване на хармонията, създадена от значително вътрешно усилие от страна на някого, и чийто източник се намира по-дълбоко, отколкото физическите или психологическите нива.

Пред всеки, който желае да се занимава с математическа дейност и постепенно да проникне до нейните основи, се разкрива изключителна красота. Това е не по-малко валидно за т.нар. „съвременна математика“, отколкото за класическата. Жалко е, че въвеждащата работа, присъстваща в много съвременни учебници, извършва „предателство“ спрямо истинския дух на математиката.

Масов е свръхстремежът да се скочи директно в методиката на приложение

Магията на геометричните преобразувания може лесно да се изгуби, като се пренебрегнат движенията, които са ги породили. Може да го сравним с гледане на ключовите кадри от лентова анимация, намирайки взаимовръзките, но пренебрегвайки всичко, което се случва между тях.

Съвременната математика може да се стори на децата просто като игра, която се играе по строги правила, изграждаща интелекта и развиваща стратегическото мислене и волята, но иначе без пряка връзка с това, което е важно в живота, и без да оставя следи в сърцата им. Основният стимул за учениците много често е перспективата да се вземе изпит, който ще отвори вратата към живот с добри материални възможности.

Предателството, хитруването и съсредоточението само върху материалните придобивки често се появяват на сцената в следствие на липсата, която Шекспир така прозорливо е описал. Защото е също така вярно, че никой не може да знае или да бъде активен в истинския дух на математиката, ако няма и духа на музиката в душата си. Редовните участия в хорово пеене или групи за инструментална музика трябва да станат задължителни в подготовката на един учител по математика. Не, че това се има предвид под „музика в душата“, но е доста близко свързано и е мощен стимулатор.

Точно както и с другите предмети, първата стъпка, когато се представя на класа нова тема в математиката, трябва да бъде стимулирането на учудване от самото явление. С най-малките деца учителят може да обсъжда какви единичности, двойности или тройности има на света. Двойността, нещо невидимо само по себе си, се появява във връзка с очите, ръцете, родителите; единичността – със слънцето, сърцето; седмичността – с дните от седмицата, дъгата, и т.н., а децата могат да дават и още много такива примери.

Чувството на ентусиазъм, генерирано от учудването, може да бъде отведено в практически дейности. Волята на ритмически активното дете, особено в ръцете му, го кара да търси преживяване на явлението – дали ще е броене, таблицата за умножение, решаване на уравнения или геометрични построения. Третата стъпка е откриването на нова истина. Мисловната дейност е събудена от волята. Откритието на ученика може, например, да бъде разместителното свойство – че три пъти по пет прави същото като пет по три.

Нека вземем примери от геометрията. Учудването при десетгодишните се стимулира с представянето на вписаните окръжности. Без значение къде започнеш, това винаги работи: еднакъв радиус при всички седем окръжности, три окръжности всеки път през шест от центровете, и шест окръжности през средното. Представянето на учителя може да стимулира децата да рисуват фигурата отново и отново, в различни размери, а след това и да я доразвият с още повече окръжности. Така децата сами ще открият, че прави ъгли, равностранни триъгълници и шестоъгълници, ъглополовящи и т.н. могат да се открият чрез внимателно наблюдение над резултатите от рисувателната им активност.

[…]

Всички форми са замръзнало движение. Когато мисълта открие нещо ново, тя го прави, като спира движение, в които самите ние участваме, слагайки го за момент на пауза и осъзнавайки застиналата форма.

[…]

Приложението на математиката е четвъртата стъпка

Истините, спечелени от третата стъпка (съзерцанието), могат да бъдат вкарани в употреба, но е грешка да искаш винаги да преминаваш от познанието към техниките. Историята на математиката демонстрира, че почти всички нейни важни открития са били направени без да се познава тяхното приложение; в повечето случаи са нямали идея за приложението им чак до векове по-късно. Желанието на Сократ предметът да се изучава в духа на философията вместо в този на занаятчийството не е било насочено само срещу човешкия стремеж към постигане на цели. То е единственият начин, по който може да се постига математически прогрес.

Въпреки това е важно учителят да показва на учениците си истински практическото приложение на математиката, която преподава, в най-подходящия момент. Чудесата на Питагоровата теорема – цялото рисуване, изрязване на картон, и създаването на подвижни модели с тел или вълна, които водят до нейното разпознаване, се увеличават, когато тя се прилага върху инженерни структури или навигационни проблеми. От друга страна, може да бъде нанесена вреда, ако се прилагат уравнения в ситуации без практическа стойност, където проста аритметика може да достигне до отговора по много по-бърз начин.

Ако никакъв реален практически проблем не е подходящ за даден етап (това не е напълно вярно дори за простите уравнения), е много по-добре учителят да каже на учениците, че практическата стойност ще стане очевидна, когато те са усвоили алгебрата на по-високо ниво. В противен случай сиянието на първоначалното учудване ще бъде изгубено, като от облак, закриващ слънцето.

В сравнение с аритметиката или алгебрата, в геометричните форми и трансформации може по-добре да се оцени красотата. Но красотата, която се открива в числата, е свързана с красотата в измеримото и разширимото, точно както поезията е свързана с рисуването.

[…]

В заключение можем да размислим над въпроса, зададен от автора на тази статия: По какъв начин валдорфските училища водят учениците си към откриване не само на истината, но и на красотата в математиката? Отговорът е, че истината в математиката – в нейния реален, духовен и ефективен смисъл –  може да се открие само чрез откриване на красотата първо. Учудването създава чувства на ентусиазъм. Това запалва волята да извърши работа с числата или направи геометрични построения. Съответно тази волева дейност събужда мисленето, което открива истини. Откривайки истини за света, в който живее, ученикът, воден съзнателно към тях чрез красотата, няма да ги забрави. Той ще се опитва да съчетава и красивото, и техничното в своята работа на този свят.